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一、证明题

1． 求证:

（1）若（2）若

,,

则,

则

, 所以对任给定

, 存在m , 当n>m时, 便有

于是,

对

;

【答案】（1

）因为有

注意到, 当m 取定时

,

便是一个有限数, 再取N>m, 使得当n>N时, 有

这样, 当n>N时, 有

从而（2）因为

对

2．

设列.

【答案】因为取M=l, 则

是无界的, 所以对, 使得

则,

则

因此

取N=l, 则

;

, 使得

, 使得

不是无穷大,

所以

应用第（1）小题结论, 即得

是一个无界数列, 但非无穷大量. 证明:存在两个子列, 一个是无穷大量, 另一个是收敛子

, 使得

, 对任意正整N

,

,

使得

为无穷大量.

因数列

, 使得.

,

则则

于是得一有界子列

3． 设f 在x=0连续, 且对任何

（1）f 在R 上连续； （2）

【答案】（1）由由f 在x=0连续可得

.

, 使得, 使得

, 由致密性定理知,

有

,

中存在收敛子列.

. 证明:

可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0. , 并且对一切

故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （

）有

所以

于是对任何有理数r 有上连续, 有

4． 设f 是以

. 对任何无理数, 存在有理数列. 故对任何

为周期的可积函数, 证明对任何实数c , 有

【答案】令

则

同理可证

,

. , 使

. 由f 在R

二、解答题

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5． 计算其中为圆锥曲面 被平面z=0, z=2所截部分的外侧。

【答案】由高斯公式,

然后再由球坐标变换得

6． 对下列各函数计算

【答案】（

1）（

2）（3） 7． 设

【答案】对方程组

关于x 求导得

解之得

8． 设

试求

, 因此

, 因此因此

,

.

,

其中A , a , b为常数, 试问A , a, b为何值时, 【答案】

故要使

存在, 必须

处可导? 为什么? 并求