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一、分析计算题

1． 若f （x , y ）为有界闭区域D 上的非负连续函数, 且在D 上不恒为零, 则

【答案】由题设存在使得对一切又

2． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

因此幕级数

的收敛域为

及和函数为

.

的收敛域

.

的收敛域及和函数.

且连续, 所以

, . , 有

令

.

故

,

, 由连续函数的局部保号性知:

3． 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积:

（1）（2）

（3）（4）

【答案】（1）

（2）

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, 绕x 轴; . , 绕y 轴;

, 绕x 轴.

绕x 轴;

（3）

当a=b时. 当

时,

当

时,

（4）上半圆的方程为

, 下半圆的方程为

, 于是

4． 求函数

【答案】设

令

解得

依题意, 相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知, 最短距离存在,

在条件

下的最小值.

i

而稳定点只有一个, 故一定在惟一稳定点处取得最小值, 故

5． 设

, 且

, 考察级数可知

. 而

所以

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的绝对收敛性.

【答案】由

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即所考察的级数收敛. 但由

I

可知,

6．

设f , g 在

发散, 故原级数为条件收敛. 上可积, a n ,

b n

和

分别表示f 和g 的傅里叶系数, 则

【答案】

写出f+g和f －g 的巴塞伐尔等式:

将上两式相减可得结论.

7

． 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温:

表

（1）按积分平均（

2）若按算术平均

平均各有什么联系? 简述理由.

【答案】（1）用矩形法公式计算:

用梯形法公式计算:

用抛物线公式计算:

（2）按矩形法计算有

（这里只考虑第一种情形）. 由此可见, 按算术平均

求平均值与矩形法积分平均是完全相同的. 而与梯形法不同. 求这一天的平均气温

, 其中定积分值由三种近似法分别计算; 或

求得平均气温

, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分

在梯形法中, 要用到13个函数值, 并且第一个和最后一个具有较小的权（它们的系数为,

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