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一、证明题

1． 设

为递减正项数列, 证明:级数

的部分和为

与级数

同时收敛或同时发散. 的部分和为

因为

为递减的正项数列, 故

故若:又有

故若同.

2． 设

【答案】由

3． 设

,

, 定义函数

证明:函数f （x , y ）在D 上可积, 且

【答案】因为f （x , y）在D 上的不连续点都分布在线段y=x （件知f （x , y ）在D 上可积. 对D 的任一分法T , T 将D 分成n 个小区域别为和为

于是

【答案】设级数

收敛,

则也收敛；若发散, 则也发散.

收敛,

则也收敛；

若发散,

则也发散. 由上可知两级数的敛散性相

证明:

代入得

）上, 由可积的充分条

, 它们的面积分

, 其积分

,

在

上任取一点. ,

则

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二、解答题

4． 求方程

【答案】令

恰有三个实根的条件. , 如图所示.

图

由图可见, 当

时,

方程

恰有三个实根.

试问此函数，有何特征？

又

6． 求函数

【答案】

因此

它在

处不连续, 其图像见图1.

的不连续点, 并作函数F （a ）的图像.

所以

即

说明函数，在点P （

x , y ）的梯度向量与1垂直.

5．

设f （X , y ）可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有

【答案】设

上确定向量1的方向余弦为

则

图1

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7

．

试求不定积分

进而求出不定积分【答案】

与

其中

为任意常数. 可得

可得

8． 设

【答案】

∴又

9． 函数

试验证

并求

①

②

在上的拉格朗日中值公式为

求当

时的极限值.

其中且是与

及x 有关的量, 对

【答案】