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一、证明题

1． 设f （x ）在[0, 1]上有一阶连续导数, 证明存在

, 使

【答案】令

在上式中取x=1, 即得

2． 设h>0, 函数f 在U （a ; h ）内具有式为

证明:

f 在U （a ; h ）内的带佩亚诺型余项的泰勒公式为

式减

式, 得

两边同除以

得

两边取极限得

即

【答案】f 在U （a ; h ）内的带拉格朗日型余项的泰勒公式为

阶连续导数, 且

在U （a ; h ）内的泰勒公

则F （x ）在[0, 1]上有二阶连续导数. 对F （x ）应用泰勒公式, 有

3． 叙述（1）有限覆盖定理和（2）魏尔斯特拉斯（Weierstrass ）定理（致密性定理）, 并用（1）证明（2）.

【答案】⑴有限覆盖定理:

若

个开区间来覆盖[a, b].

（2） Weierstrass 定理（致密性定理）:有界数列必存在收敛子列. 反证法. 设数列则对任意的由此可知, 存在显然

为

在

不是

若

中无收敛子列,

中的有限项.

中存在有限个开区间

根据项, 这与 4． 设

的构造性质可知, 中,

中也只含有

中的有限项, 从而[a, b]中也只含有

中的有限

中任意一子列的极限.

中至多只含有

为闭区间

的一个（无限）开覆盖,

则在

中必存在有限

于是得一满足上述条件的开区间族

的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,

矛盾, 所以结论得证.

在上二次连续可微, 且, 证明:

其中

【答案】由Taylor. 展开式知

取

对②积分得到

从而有

代入①得到

①

②

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二、计算题

5．

求下列函数的麦克劳林级数展开式:

（1）

（

2）

.

【

答案

】（

1）

设

又

所以

〔2）

故

6． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:

（1）

（2）

【答案】（1）由于D 的面积为, 所以, 的平均值

得