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一、填空题

1． 设

其中，【答案】【解析】因

则线性方程组

所以

的解是_____. 有唯一解，

的秩为_______

由克莱姆法则，并结合行列式性质，立知 2． 二次型

【答案】2

【解析】二次型的秩即其矩阵的秩，该二次型矩阵 3． 设A 为

【答案】6 【解析】因为 4． 设矩阵

【答案】【解析】由

上式两边取行列式，有

因为

E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足

矩阵，=_____.

把A 按列分块为

显然r （A ）=2

，其中是A 的第j 列，则

则________

所以

二、证明题

5． 证明:A 与

【答案】设则存有n 阶可逆阵

相似, 从而有相同的特征值. 但特征向量不一定相同.

且

的不变因子为

使

两边取转置得

从而

与

有相同的不变因子

,

于是

这说明:A 与<有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值. 但特征向量不一定相同, 比如设

当当

时, 由时, 由

得线性无关的特征向量为得线性无关特征向量为

. 则A 属于1的全部特征向量为则A'

属于1的全部特征向量为

其中k 为

P

中不为零的任意常数.

其中1为P 中不为零的任意常数, 因此A 与具有不同的特征向量.

6． 设分别是矩阵，证明

（1）矩阵方程【答案】（

1）

记则

于是B 的列向量可以由A 的列向量线性表示，进而（A

，B ）的列向量可以由

A 的列向量线性表示，故

如果

又

故

B 的列向量的极大无那么A 的列向量的极大无关组也是A

，

有解

有唯一解；

有无穷多解. 若

AX=B有解，设

是其解，

（2）在有解的情况下，

关组，于是B 的列向量可以用A 的列向量线性表示，设为

故（2）记

由r （A ）=r（A , B ）则当r （A ）=n时，线性方程组穷多解，故

有无穷多解.

于是

全有解. j=1, 2, …, S 有唯一解，故

有唯一解. 当

有无

记

则C 是矩阵方程

解.

有解的充要条件是：线性方程组

三、分析计算题

7．

设

（1）证明（2）证明：【答案】（1）显然，即.

（2

）所以

8． 若

令

可逆，

且所以.

. 必有解.

与均为实数

的解是因此

与

的解. 又设同解，所以

有解. 证明

：

所以

可逆，

并求可逆.

则

故线性方程组

【答案】证法

1因为

因为

由式（1）得，

由式（2）得，

所以

即

比较右下角块可得

证法2因为

可逆，所以存在可逆矩阵C ，使

从而

两边左乘B 得