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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.

记

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由题设知，所以

2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

则当（ ）时，此时二次型为正定二

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于

则

这时

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

则A=（ ）.

【答案】C 【解析】而 3． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1用排除法令

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方法2则

所以当时，f 为正定二次型.

方法3设

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，

为正定二次型，故选（D ）.

方法4令

则当

，即

时，二次型可化为

所以f 为正定的. 4． 设

则

3条直线

（其中）交于一点的充要条件是（ ）

A. 线性相关 B. 线性无关

C. 秩

D.

线性相关，

线性无关 【答案】

D 【解析】

令则方程组①可改写为

其中

则3条直线交于一点

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

秩

①

②

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由秩. ，可知线性无关，由秩可知1线性相关，即可由线性表出，

从而可由线性表出. 线性相关，故选D.

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

则为（ ）.

二、分析计算题

6． 设相似. 证明:

是线性空间V 的两个线性变换，如有V 的可逆线性变换S , 使

则称

与

与相似的充要条件是:存在可逆线性变换S , 使对V 中任一向量，由

可得

【答案】取定线性空间V 的一组基. 设在该基下的矩阵仍记为显见问题等价于矩与相似的充要条件是，存在可逆阵S , 使必要性 因任取故有可得从而有

即

所以

7． 设V 是实数域R 上三维向量空间，

试求（1）T 在（2）T 的逆变换（3）

在

在

中的变换公式;

中的变换公式; 中的变换公式.

阵中任给向量

-

. 如. 可得

相似，则存在可逆矩阵S , 使

，如

. 则因

的自然基

充分性由题设，存在可逆阵S , 对

，即相似.

下

是V 的一组基. 又设线性变换