2017年湖南科技大学商学院832高等代数B考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）. A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C 【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有 又 所以有 第 2 页，共 59 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 分别为A ，B 的伴随矩阵， 即A*右乘初等阵P （1，2）得-B* 解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此 即 3． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知 则A 与B （ ）. 所以A 的特征值为3，3，0；而 B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似. 4． 设线性方程组的解都是线性方程组的解，则（ ）。 【答案】（C ） 【解析】设即证秩 5． 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A 【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值 又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵 第 3 页，共 59 页 则 所以 的解空间分别为 则A 与B （ ）. 使 其中 故A 〜B. 再由 是正交阵，知T 也是正交阵，从而有 且由①式得 因此A 与B 合同. 二、分析计算题 6． 设. 是线性变换 那么那么得 7． 设 且证明秩的代数余子式 故在行列式②中满足 即主对角严格占优. 即秩 从而秩 8． 设T 是n 维欧氏空间V 的对称变换. 证明： 【答案】设T 是非负对称变换，则 为其任一特征值且 但 故 使T 在此基下的矩阵对角矩阵，即有 其次， 考虑 为 实矩阵，已知 于是 证明： （1）如果（2）如果【答案】（1）因题设 又故（2） 【答案】把所有各列都加到第一列上去，并注意到①式，那么 又因为T 为对称变换，故存在标准正交基 第 4 页，共 59 页