2017年湖南科技大学商学院832高等代数B考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于故 2． 设
是
因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
的基础解系. 又由
则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
线性表出.
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可由
可知线性相关，即可由线性表出，
从而
线性相关，故选D.
3． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
【解析】
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
分别为A ，B 的伴随矩阵，
二、分析计算题
6． 证明：以下方程组在复数域内只有零解
【答案】对n 用数学归纳法. 当n=l时结论显然. 假定对未知量个数未知量成立. 设若方程组（1）有解而与其相等的个数依次分别为
且由（1）可得
这是关于列式为
于是
时结论成立，下证对n 个
都不是零，且不妨设前m 个为其两两互异的全体，
的一个齐次线性方程组，由范德蒙德行列式知，其前m 个方程的系数行
于是由克拉默法则知：因此，方程组U ）的任一解必
从而
即（1）只有零解。
7． 设A ，B 分别为m ×n 与m ×s 矩阵，X 为n ×s 未知矩阵. 证明：矩阵方程AX=B有解（A ，B ）. 且当r （A ）=r（A ，B ）=r=n时，AX=B有唯一解；当r 【答案】设 的列向量组. 若AX=B有解 则得 即B 的列向量组可由A 的列向量组线性表示，从 而 因此，r （A ）=r（A ，B ）. 反之，若r （A ）=r（A ，B ）=r，则B 的列向量组必是A 的列向量组的线性组合，且以组合系数为列向量所构成的n ×s 矩阵便是AX=B的解. 当r=n时由于每个__，r 的解唯一，从而AX=B的解也唯一；当 有无穷多解，故AX=B也有无穷多解. 但显 然 即 分别为矩阵A 与B 矛盾. 中必有零. 不妨设 于是由（1）的前n-1个方程知