2017年湖南科技大学商学院832高等代数B考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
2． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA 第 2 页，共 48 页 【答案】B 【解析】 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 4． 设向量组 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ） 【答案】C 【解析】方法1:令 则有 由 线性无关知， 该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于 从而 线性无关，且 因为所以向量组线性无关. 5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）. A. 必相等 B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在 若选故选B. 第 3 页，共 48 页 线性无关. 中选三个向量组 从而否定A , 若选从而否定C , 二、分析计算题 6． 复方阵A 称为幕零的，若有正整数k 使【答案】必要性. 设是A 的一个特征值， （因f （x ）的根全为零）. 由 证明：A 是幂零阵的充要条件是A 的全部是属于的特征向量. 于是 由于 故 即 则 特征值皆为零。 充分性.A 的特征值全为零，故A 的特征多项式f （x ）等于 哈密顿-凯莱定 理有即A 是幂零的. 7． 试证象棋盘上的马，从任一位置出发，只能经过偶数步才鲫眺回原处（马跳法是沿相邻的方格组成的矩形的对角线）. ，马的跳法有8种类型： 【答案】设此定点为坐标原点，建立直角坐标系（如图） 图 ，用反证法，设第i 种类型共跳 次第1种是跳往的位置（见图）回到原处，那么 或 ①方程组①的增广矩阵为 且其 步 第 4 页，共 48 页
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