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一、分析计算题

1 设．中任一个•

【答案】对子空间的个数t 归纳.t=2时，

因为

-

如

_

于是：

则

即为所求；又如

果

，使

结合

是非平凡子空间知，

存在不属于同一4

设

互不相同，则如下t 个向量

中至少有一个不属于任何一个

中，再结合

命题得证.

2． 设T 是n 维欧氏空间V 的对称变换. 证明：

【答案】设T 是非负对称变换，则

为其任一特征值且

但故

使T 在此基下的矩阵对角矩阵，即有

是V 的非平凡子空间，

所以存在

，

则

为所求，否则，便

，V 中至少有一个向量不属于是线性空间V 的t 个非平凡子空间证明：

设对t-1个非平凡子空间结论成立，即V 中有对第t

个子空间

于

是对任意数k ，有（否则，

且对不同的

则命题已证.

而如果

又因为T 为对称变换，故存在标准正交基其中若每个则

为T 的全部特征值. 则对

令

因此，T 是非负对称变换.

3． 设似，记为

是线性空间V 的两个线性变换. 若存在可逆线性变换S 使证明：

在同一基下的矩阵相似.

故

且

又若

则

则

即

则称与相

①线性变换的相似关系是等价关系； ②在有限维空间中，【答案】①因为再若

因此，线性变换的相似关系是等价关系. ②设

在基

下的矩阵为

若

且

即

与

相似.

由上倒推可得

反之，若

又S 在该基下矩阵为C. 则

由于线性变换与其所对应的矩阵的映射是一个同构映射，故

4． 设T , S是n 维空间V 的两个线性变换。证明：

【答案】证法I 令W=S （V ）. 则由上题知：

于是

但因为

故由上又得

此即

维斯特不等式知：

故相应的有

5． 计算

其中

证法II 设T ，S 在V 的某一基下的矩阵分别为A ，B ，则TS 在此基下的矩阵为AB. 但由西尔

【答案】因为

则

故

这里

6． 证明：

【答案】在展开式中，对每项应用

再合并成n 个行列式.

7． 求多项式f （x ）的根，其中

【答案】各列都加到第一列，提取公因子，得