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一、分析计算题

1． 设T 是线性空间V 上线性变换，T 的核记为

（1）证明：

（2）若v 是n 维线性空间，证明：存在正整数k , 使得

并证明，对一切

的整数有

（3）若V 是n 维线性空间，证明：

【答案】（1）要证①式，只要证明

即可. 立.

要证②式，只需证明

即可

.

则存在

（2）由上面①式有由于V 是有限维，一定存在正整

数k ，使

但

由⑨，⑩即证③成立.

再用数学归纳法证明④式，显然当t=l时结论成立. 归纳假设结论对s —1成立，即

再证k 时结论成立. 事实上，有

则即所以

此即

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的象记为

则所以有故

此即⑥成立，从而①成

使

是常数，且维数不能为负，因此⑧式不能无限不等下去，从而

从而⑦式成立，所以②式成立.

由⑫，⑬式得证（3）再证

即对s 也成立，从而④式对一切正整数t 成立

其中k 满足④式所以从而但

则

即证⑧式. 由于是V 的线性变换，因此有

由式即证⑤式成立.

的根？是几重根？再在有理数域上分解f （x ）,

2． 问：3是否为

【答案】解法I 对f （x ）及其商用综合除法

.

由此可知，3是f （x ）的2重根且

解法II 求f （x ）的逐阶导数法

.

用综合除法可知：

3． 设V 为数域F 上的n 维线性空间，

明：W 为V 的子空间的充分必要条件是存在某个

【答案】充分性是显然的，下证必要性. 若

这

与

4． 设

证明：【答案】因为

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故3是f （x ）的2重根. 是V 的S 个子空间，

使得

使

得

都是W 的真子空间，由有限不覆盖定理，

矛盾，故存在某

个

证

为n+1个向量，且

线性无夫

线性无关.

即

结合

问题得证.

5． 设A 为n 阶方阵，证明:

【答案】当而所以

当当显有当结合

6． 以

时知

时，有

故仍有

时，有

时，

为两两互异的数，且它们的和不

从而

时，有

表示数域P 上的2阶矩阵的集合. 假设

等于零. 试证明

是P 上线性空间【答案】设即有

从而

因此，只要能证明上述关于性无关，从而能构成

下面计算行列式

的一组基.

的线性方程组只有零解，则

就线

的一组基.

且有关系式，

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