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一、分析计算题

1． 设

【答案】（1）因为

即n=3时结论成立. 设n=k时命题成立. 当n=k+l时，

所以

（2）由（1）知

以上各式相加得

2． 设W

是I

【答案】设所以

则

故a 是W 的基，且

3． 若以f （x ）表示实系数多项式，试证:

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证明：

由哈密尔顿-凯莱定理知

的非零子空间，对于W

中每一个向量

n , 证明：

这里

则a 线性无关.

或全为0,

或全不为

因为

是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基. 【答案】显然有子空间.

取W 中元素有另一方面，

即

有

即f （x ）可由因此，

4． 设

【答案】因为

5． 求函数

在实单位球面上：所取的值.

【答案】由上题知

其中

分别为A 的最小特征值与最大特征值，A 为二次型f 对应的矩阵，

且

计算可得

当

时，得特征向量

单位化得

当

时，得特征向量

单位化得

有最大值

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因此W 构成

一方面，如果

线性无关.

的一个

线性表出. 为W 的一组基.

证明：

达到最大值与最小值，并求出达到最大值与最小值时z ，y ，z

当时，有最小值

6． 设

求

之值.

故有

所以

【答案】

7． 设则

称

是V 上对称或反对称的双线性函数，

是V 中的两个向量，如果

必有

正交. 再设K 是V 的一个真子空间，证明：对

于

对所有

【答案】取K 的一个基令

其中

是待定系数. 考虑线性方程组

这是一个由

个未知量，r 个方程的齐次线性方程组，它有非零解，设为

线性无关，则

显然，

且

故

由

都成立. 则

考线性无关.

8． 证明酉空间中两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵.

【答案】设

的过渡矩阵是

及

即

是酉空间V 的两组标准正交基. 由

到

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