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一、证明题

1． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

2． 设

，试证

：

再由本节第3题知

有

独立同分布, 且

令

, 试证明:

其中（3为常

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为

单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是的密度函数.

3． 同时掷5枚骰子，试证明：

（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）

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个样本点，这是分母，以下分别求之.

（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取2枚组成“一对”，共有以

（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有

种可能，所以所求概率为

（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以

（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，由此得

（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以

4． 设

是来自

的样本，α＞0已知，试证明，

是

于是

所以λ的费希尔信息量为

这就是说

的任一无偏估计的C-R 下界为

又

这就证明了

是

的有效估计，从而也是UMVUE.

5． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

所以由单调性知

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种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所

种分法，

的有效估计，

从而也是UMVUE.

【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为

从而得又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

6． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

7． 证明:若与

【答案】由F 变量的构造知立, 因此F 变量r 阶矩为

, 其中. 由

且v 与W 相互独

容易算得

则当

时有

由此写出E （F ）

所以

故有

即X 与Z 不独立.

证明:

从而可得当r=l时, 只要

就有

在其他场合, 不存在.

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