2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院840概率论考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
又
由
知
都服从区间（0，1）
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
2． 设0 【答案】由条件 3． 设连续随机变量 得 独立同分布, 试证: 【答案】设诸而事件 从而该事件的概率为 若记诸 的分布函数为 则上式积分可化为 4． 设总体X 的均值为方差为 线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为 【答案】由于于是 第 2 页，共 34 页 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为. 是来自该总体的一个样本， 为的任一凸其中 为的线性无偏估计量，故 而 故有 从而 5． 设 是总体 的简单随机样本， 记 （I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ） 的无偏估计量； 时，求DT 。 故T 是 的无偏估计量。（II ）当 6． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下: 其中参数 （1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若 【答案】（1）因为 时, 记Y=X, 试证 的密度函数为 y 的特征函数为 下证柯西分布的可加性, 设 , 由此得服从参数为 的特征函数 的柯西分布, 其密度函数为 第 3 页，共 34 页 时， 常记为 且利用此结果证明柯西分布的可加性； , 但是X 与Y 不独立； 与同分布. 相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证: 若与相互独立, 则 的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知, 的柯西分布. 时有 , , 服从参 这正是参数为数为 （2）当所以 由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3 ）设得: 即 的特征函数为 不能推得X 与Y 独立. , 由相互独立性 都服从参数为的柯西分布, 则特征函数为 与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布. 7． 试证：概率为零的事件与任何事件都是独立的. 【答案】设P （A ）=0，则任对事件B 有 所以由概率的单调性知P （AB ）=0，从而得 P （AB ）=P（A ）P （B ），所以A 与B 独立. 8． 设分别是的UMVUE ，证明：对任意的（非零）常数a , b , UMVUE. 【答案】由于分别是的UMVUE , 故且对任意一个 满足 由判断准则知 于是 因此 是 的UMVUE. 是 的 二、计算题 9． 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差是多少？ 【答案】此处因子水平数r=4，每个水平下的试验次数m=3，误差平方和它们分别为 于是 其自由度为 误差方差 的估计值为 由四个平方组成， 的估计值 第 4 页，共 34 页
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