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一、证明题

1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则

【答案】二项分布因为而

2． 设

的特征函数为, 所以当

时,

则

正是泊松分布的特征函数, 故得证. 为自由度为n 的t 变量, 试证:

的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

, 其中

, 且X 与Y

, 考察其极限知

由特征函数性质知

从而由

, 再按依概率收敛性知

这就证明了

的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

3． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

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,

其中

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为

, 劼的特征函数为

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.

4． 设是来自的样本,

即说明了由原始数据和变换后

它们的关系为

为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

相互独立.

则

的联合密度函数为

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

相互独立,

且

其雅可比行列式绝对值为

, 联合密度

5． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

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这表明：Y 服从参数为

的泊松分布.

6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

7． 设随机变量序列

独立同分布, 其密度函数为

试证:

【答案】因为当x<0时,

有

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

所以有

结论得证.

若只有一个观测值，则

的最大似然估计不存在.

8． 证明：对正态分布

而当时, 有

时,

有

其中常数

, 令

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为

该函数在似然估计不存在.

时趋于

这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而

的最大

二、计算题

9． 设二维连续随机变量（X , Y ）的联合密度函数为

试求条件密度函数【答案】因为当

时,

所以当

时,

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