2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院840概率论考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
2． 设
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
时
，
确定. 为了确定c , 需要充分统计量
由此可
得
的分布.
或者
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以 c=21.887.
时，将拒绝原假设
从而有
在原假设
成立下，有
这
里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理
知
, 从而有
故由等式
可得
记
即
若n=15,
查表得
从而
3． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
为标准正态分布的
分位数，则有
认为
利用分布的分位数可确定临界值c.
又因为当0 所以 4． 设 【答案】由 服从均匀分布 可知 试证 及 都是的无偏估计量，哪个更有效？ 的密度函数分别为 从而 故，由又可算得 从而 故 5． 从正态总体 即 更有效. 知两者均为的无偏估计. 有相同的边际密度函数. 事实上，这里x （3）是充分统计量，这个结果与充分性原则是一致的. 中随机抽取容量为100的样本，又设的先验分布为正态分布，证明：不 ，由共轭先验可知，的后验分布仍为正态分布由于n=100，所以 故，不管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5. 6． 用概率论的方法证明: 【答案】设 为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数 服从参数 的泊松分布 故 其 管先验分布的标准差为多少，后验分布的标准差一定小于1/5. 【答案】设的先验分布为中 又由泊松分布的可加性知, 的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定