2017年河南师范大学数学与信息科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
则
为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.
的方差一致有界, 即存在常数c 使得
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
2． 任意两事件之并
服从大数定律.
可表示为两个互不相容事件之并，譬如
（1）试用类似方法表示三个事件之并（2）利用（1）的结果证明
【答案】⑴
（2）利用加法公式可得
3． 设从均值为
方差为
的总体中，分别抽取容量为
的两独立样本，
分别是
这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.
【答案】由于
是容量分别为
都是的无偏估计，并确定常
的两独立样本的均值，故
因而
这证明了又由a+b=l知，
是的无偏估计.
从而
由求导知，当
时，
达到最小，此时
这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&
的样本的合样本（样本量为
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）的均值
是线性无偏估计类
4． （格涅坚科大数定律）设
中方差最小的.
是随机变量序列, 若记
则服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当
时, 有
因此有
所以当再证必要性. 设有
因为函数
时, 有
服从大数定律, 即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N , 当, 得
由于的任意性, 所以
5． 证明
：
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
6． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.
【答案】因为
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时,
则
所以由单调性知从而得
又因为
所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.
7． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
8． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
二、计算题
9． 某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得. 根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的.
（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率；
（2）若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者？ ，
则【答案】设共有n 位身体合格的献血者，记事件八为“第i 名献血者是AB 型血”
n.
（1）所求概率为
（2）由题意知
由此解得型血.
所以取n=149时，可保证以95%的把握至少获得一份AB
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