当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设

与

为空间的两组基, 且

①

又

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

由②有

将①代入④得

即故.

2． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解, 则（ ）.

A.

B. C.

D.

【答案】C 【解析】设与

的解空间分别为则所以

即证

3． 设A 、B 为满足

的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.

A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关

第 2 页，共 43 页

②

③

④

C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设

由于性相关. 又由方法2:设考虑到

即

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为

即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵

其中得

因此A 与B 合同.

5． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

A. B.

C.

第 3 页，共 43 页

并记A 各列依次为

从而

线

由于不妨

可推得AB 的第一列知

，

由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.

由于

所以有

所以有

则A 与B （ ）.

使

,

故

再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式

【答案】C 【解析】而

不一定是线性变换，比如不是惟一的.

. 则

也不是线性变换，比如给

,

二、分析计算题

6． 求齐次线性方程组并将之扩充为

的标准正交基.

的解空间（作为

的子空间）的一组标准正交基，

【答案】将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形

方程组的一般解为

这里

是自由未知量. 取解空间W 的基：

再单位化，得W 的标准正交基

记A 的行向量为

得

则

可扩充为R4的标准正交基

的秩为若

设代入式

，则该组中任意r 个向量线性无关的充要条件是：对于任

则

中任意r 个向量线性无关，故

令

全为零

. 或全为零，或全不

7． 设向量组意为零.

【答案】若不妨设

在

全不为零，结论已真. 否则，必有一个数为零， 中任取r 个向量，不妨记为

第 4 页，共 43 页

先正交化，得

则

将正交化，标准化，

个向量