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一、选择题

1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

则（ ）.

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由已知，有

于是

2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

则为（ A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

3． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

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.

）

【答案】D 【解析】 4． 设

其中A 可逆，则=（ ）.

A.

B.

C.

D. 【答案】C 【解析】因为

5． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

1

所以

是（ ）二次型.

其中

则PAQ=B

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B.

二、分析计算题

6． 设A 为

实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P ，使得

其中【答案】因为

正定，从而存在正交阵P ，使

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由于令

不失一般性

，可设

由②得

将P

分块. 令

则

由于P

为正交阵，

因此令又因为

，

则

为

用

P ,

左乘，h 右乘④式两端得

实矩阵，且

所以

由⑦可得

由于秩

矩阵

因此, 这样由

有

可得

但

令

由于

从而Q 为正交阵. 并由④⑨式得

个线性无关的解. 将它们正交单位化后，构或

由⑧式，得

其中

由⑧即证

7． 求下列多项式的有理根：

【答案】（1）可能的有理根为

经计算

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