2018年南京邮电大学理学院814高等代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设行列式
为
，则方程，的根的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
有两个根
2． 设线性方程组
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
A.
B. C.
D.
【答案】C 【解析】设与的解空间分别为则所以
即证
3． 设
均为n 维列向量，A 是
矩阵，下列选项正确的是（ A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若
线性无关，则
线性无关.
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.
）
【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
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线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
则A 与B （ ）.
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
则为（ ）.
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 设V 是n 维线性空间
（1）证明:（2）证明:
【答案】（1）由维数公式得
又因为
所以有
从而
（2）由（1）知考虑到
所以显见（3）取又令则有且
7． 已知m 个向量
（1）如果等式0;
（2）如果存在两个等式
其中
则
【答案】（1）若
则证毕. 否则总有一个
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X 和Y 为V 的两个子空间, 并且
当且仅当Y 是X 的子空间.
（3）举例说明:存在满足题设条件的线性空间V 及其子空间X 和Y , 使得
的充要条件是
且
的充要条件是
线性相关，但其中任意
则这些
命题得证.
, 则有
等价于
V 为3维几何空间
个都线性无关，证明： 或者全为0, 或者全不为
不等于0, 不失一般设