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一、证明题

1． 证明:闭域必是闭集, 举例说明反之不真.

【答案】（1）设D 为闭域, 则有开域G 使

其中

c

为G 的边界, 设

2

①

由

知:对任意, 使

②

这与以上结论矛盾.

其

,

则且

中G 为G 的余集即关于R 的补集. 由于

下证

若不然, 则存在

由于

从而

因此②真, 由①知

于是当

从而存在

充分小时, •

中含有G 的点Q , 于是

故P 0不是D 的聚点, 这就证明了:若P 0为D 的聚点, 则（2）例如

或

2． 若f （x ）在R 上存在三阶连续导数, 且

, 因此D 为闭集.

是闭集, 但不是闭域. , 有

*

证明:f （x ）至多是二次多项式. 【答案】只需证:将

在X 处作泰勒展开

将上两式代入所给的等式中, 比较两端可得

当

时, 有

由三阶导数的连续性, 有

3． 证明:连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数; 连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.

【答案】设f （x ）是连续的奇函数, 则

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是f （x ）的所有原函数, 而

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所以F （x ）是偶函数. 若f （x ）是连续的偶函数, 则

是f （x ）的一个原函数, 则

所以F （x ）是奇函数. 奇函数要求过原点, 因此, 连续的偶函数的原函数中只有过原点的那一个是奇函数.

4．

证明:若致地成立,

即对任意

【答案】先证由于

.

又由于f （

x ,

t

）对任何

因此对从而

即

再证

收敛.

考虑

由

一致收敛于F （x ）知, 任绐

存在N 1, 对一切A> N1和一切

由由从而有

综合上述, 对任给的

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在时一致收敛于F

（x

）. 且

收敛.

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0

, 当x>M

时,

在时一致收敛, 因此任给

一致收敛于

,

存在N

, 对一切

, 和一切, 都有

, 存在X , 对一切x>X和都有

有

收敛,

对上述

取

存在N 2, 对一切A> N2, 有

, 对

, 存在X , 对一切x>X和t , 有

存在x , 对一切x>X, 有

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二、解答题

5．

讨论黎曼函数型.

【答案】（1）先证

在

上无理点都连续. 设无理数

若x 为0, 1或无理数, 总有

若取

在则当

的,

记为

在区间[0, 1]上的不连续点的类

中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个,

选其中最接近于

时, 有

（2）再证取无理数列再取有理数列由

上的有理点均为使使

所以的右连续点.

则

的第二类间断点. 设有理数

为

不存在. 即证的第二类间断点.

（3）类似可证1不是（4）可证0是

6． 判别下列函数的奇偶性:

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案】（1）显然,

的左连续点.

的定义域为R. 对于任意

有

故是R 上的偶函数.

有

（2）显然, f （x ）的定义域为R. 对于任意故

是R 上的奇函数.

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