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一、证明题

1． 设由行列式表示的函数

其中

的导数都存在，证明

【答案】记

由行列式定义知f 为元的可微函数且

于是由复合函数求导数法则知

记①右边行列式中的代数余子式为

，则

从而，

代入②，得

其中

是将元素

去掉后得的n －1阶行列式，它恰为行列式

中的代数余子式，于是由③知

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①

②

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2． 设

（1）（2）（3）若

为有界数列, 证明:

s , 则

（4）若’则为有界数列知

.

也是有界数列, 故

并存在子列

与

.

使得时有

, 即

存在N , 使得当

时,

有

都存在.

设

并且存在子列

【答案】（1

）由于是, 对于,

使得（2）

设

则对任意>0, 存在N , 使得当

n>N时有

, 任给

, 存在正整数N , 使得当

按上极限、下极限的定义有,

由

定理知, 对任给的

于是, 此时有

由上、下极限的保不等式性可得

*

由

的任意性可得 即（3）设使得当

时, 有

由定理知, 对任给的

, 由此得

同理可证

, 使得’因此

3． 证明下列各式:

（1）（2）（3）（4）（5）

第 3 页，共

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, 存在正整数N ,

,

, 又存在另一子列

使得

由上、下极限的保不等式性有由的任意性可知. （4）存在

的子列

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（6）（7）【答案】（1）于是（2）由于于是（3）由（4）因为

1知

由函数极限的局部有界性知,

在

内有界,

由函数极限的局部有界性知,,

在内有界,

所以（5）（6）设

则

于是

故

（7）设

, 则

于是

故

4． 设函数

（1）存在（2）存在【答案】（1）因为同样由,

.

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即

于是, 在某个

内

有界, 故

在闭区间

上无界, 证明: 使得使得对任意的

的无界性知, 存在.

在使得满

足

上无界. 使得

所

以

.

在闭区间[a, b]上无界, 所以存在

如此继续, 可

得