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一、证明题

1． 给定曲面

（a , b, c为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y）, 证明:

（1）曲面的切平面通过一定点; （2）函数z=z （x , y）满足方程【答案】（1）由

及F 1, F 2不能同时为零, 可得

化简得

由此可以看出, 曲面z=z （x , y ）的切平面过定点（a , b, c ）. （2）对上式两边再分别关于x , y 求偏导, 得

即

由此可见, 当

时, 等式成立. 由函数连续可微知, 对x=a或y=b时等式仍成立.

2． 设f （X ）, g （x ）为（a , b ）上的凹函数, 求证:

也是（a , b ）上的凹函数 【答案】设

, 则

, 有

,

,

由此推出

由凹函数定义, 即知h （X ）是（a , b ）上的凹函数.

3． 证明:设f 为n 阶可导函数, 若方程实根.

【答案】设方程对f （x ）在区间存在再对存在

使得

在n －1个区间

使得

的n+1个相异的实根为

, 即

, 即

, 并且

至少有n 个相异实根. 上应用罗尔中值定理知,

至少有n －1个相异实根. 如此继至少有一个实根.

在（0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）有

, 即

这表明

令

得在式（1）中, 令

. 得

由式（2）、式（3）知, 连续.

由

的任意性知, f （x ）在（0, 1）内连续.

5． 证明公式

,

其中S 是包围V 的曲面, n 为S 的外法线方向【答案】因

则由第一、二型曲面积分的关系及高斯公式可得

有n+1个相异的实根, 则方程至少有一个

上应用罗尔中值定理知,

续下去可得, 至少有n －2个相异实根,

4． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且函数

与在（0, 1）内连续.

【答案】

所以

, 即

.

由

可知, 对

都存在. 又由知对, 有.

. 类似地可证:, 从而f （x ）在点

而

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因此公式成立.

二、解答题

6． 计算三重积分与累次积分

（1）（2）

其中

V 由

和

所确定

;

【答案】

（1

）由于被积函数为

, 因此可以把三重积分化为

“先二重后一重”的累次积分, 又由区域V 用平行于 xy 平面的平面截得的是一个圆面, 即

从而

（2）应用柱坐标变换

7

． 求函数u=xyz在点A （5，

1，2）处沿到点B （9，4，14）的方向

【答案】故有

8． 设

（1）试求以（2）计算【答案】（1）因所以

所以

其中

为自变量的反函数组；

，其方向余弦为

因为

成上的方向导数.