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一、计算题

1． 求下列幂级数的收敛半径, 并讨论区间端点的收敛性:

【答案】（1）由

, 得R=1, 或由

在端点z=1处, 级数为

. 因为

, 使得

又

, 所以在端点x=1处原级数收敛.

. 因为

所以在端点x=﹣1处原级数绝对收敛. （2）

. 在端点x=e处, 级数为

因为

所以级数的一般项不趋于零, 从而在端点x=e处原级数发散. 同理在端点x=﹣e 处, 原级数发散.

2． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

因此

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在端点x=﹣1处, 级数为

的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.

.

【答案】由于f （x ）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得

,

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所以F （y ）在y=0处不连续, 当

时

在[0, 1] ×[c, d]上连续, 所以当.

时, 函数

F

（y ）连续.

3． 求一曲线y=f（x ）, 使得在曲线上每一点（x , y ）处的切线斜率为2x , 且通过点（2, 5）.

【答案】由题意, 有

, 即

又由于y=f（x ）过点（2, 5）, 即5=4+C, 故C=l.因而所求的曲线为

4． 计算下列反常积分的值:

（1）（3）【答案】

（1）

（2）

（3）

（4

）令

, 则

, 由（3）的结论得

5． 计算曲线积分径:

,

（a>0, b>0, c>0为常数）,

中解出

.

, 代入椭球面方程整理

其中L 是从点（a , 0,

0）沿着以下曲线到点（0, 0, c）的路

;

（2）

（

4）

;

.

【答案】方法一 （用参数方程求解）从可得

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令

则

由于

并注意到椭圆心在

处, 所以

故

方法二 （选取z 作为参数）曲线L 的参数方程为

z 从0到c.

于是有

方法三 （用斯托克斯公式求解）由于空间曲线L 不是闭曲线, 所以补充直线段L 1, 使得L+L1

为闭曲线, 其中L 1是从点（0, 0, c）沿直线式, 有

其中S 是由L+ L1围的有限部分.

注意到S 在xOy 平面、yOz 平面以及zOx 平面的投影分别为

’到点（a , 0, 0）的直线段. 由斯托克斯公

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