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一、证明题

1． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列

【答案】充分性

若存在时, 有

当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.

必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.

取

则

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取

则

这样继续下去, 得到一个各项互异的点列 2． 设

【答案】（1）当

时, 由于

此即

（2）当

时, 由于

令而

则

存在

当

时, 有

用

语言证明:

, 当

时, 有

中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见

且

中必含有E 中的点, 取

则

中

含有

的无穷多个点, 又

从而

中含有E 中无穷多个点,

时,

则对任给的

时, P 0是E 的聚点.

总存在N , 使得n ＞N

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3． 证明:若函数f , g在区间[a, b]上可导, 且

【答案】令

于是, F （x ）在[a, b]上严格递增, 故当

4． 设f 为

上的连续减函数,

则

时,

;

又设

证明{an }为收敛数列. 【答案】因f （x ）为

内的连续函数, 所以

因此

, 数列{an }有下界, 又因

可见{an }为递减数列, 由单调有界定理知{an }收敛.

,

即

, 则在内有.

二、解答题

5． 设

满足方程组

这里所有的函数假定有连续的导数.

（1）说出一个能在该点邻域内确定x

, y , z 为u 的函数的充分条件； （

2）在

【答案】 （1）设

由已知条件 （i ）（ii ）（iii ）

的情形下, 上述条件相当于什么？

在把内连续；

在R 内具有一阶连续偏导数；

4

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故当

时, 原方程组能在（2）在

的邻域内确定x , y , z 为u 的函数.

；的情况下, 上述条件相当于

即

两两互异.

6． 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积:

（1）（2）（3）（4）【答案】 （1）（2）（3）

.

为心形线方程, 它在极轴之上部分的参数方程式为

于是

（4）由

7． 设

,

得

, 则

存在连续的导函数, 有

试求:

【答案】作球坐标变换

则

, , 绕X 轴;

绕x 轴;

, 绕极轴;

, 绕y 轴.