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一、计算题

1． 设总体无偏估计.

【答案】由于总体

这给出

于是

若要使

为

的无偏估计，即

2． 箱子里有n 双不同尺码的鞋子，从中任取

（1）（2）（3）（4）样本点数.

（1）要使发生，可分两步走，先从n 双鞋子中任取2r 双，再从抽取的2r 双鞋子各抽取一只，故中的样本点个数为

由此得

（2）要使

发生，先从n 双鞋子中任取1双，再从余下的n-1双鞋子中取出2（r-l ）双，最

中的样点个数为

由此得

=“没有一双成对的鞋”； =“只有一对鞋子”： =“恰有二对鞋子”： =“有1*对鞋子”.

个等可能的样本点，这是分母，下面分别求各事件所含的

只，求下列事件的概率.

这给出

是来自该总体的一个样本. 试确定常数c 便

为

的

【答案】该问题中样本空间含有

后从取出的2（r-l ）双中各取一只，故

（3）仿（2）思路，

中的样本点个数为

由此得

（4）因为中所含样本点个数为所以得

其中

譬如，取n=5，r=2，可以得 3 设总体X 服从几何分布, 即．

为该总体的样本. 分别求【答案】容易看出所以

同样可以得到

此式对k=l也成立, 因为

所以

的分布列为

的概率分布.

可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 事实上,

由于

从而

而其和

下面求所以

类似有

所以

的分布列为

的分布列. 由于

所

以

同样可以验证上述分布列满足非负性和正则性两个基本要求. 这里非负性是显然的, 而其和

4． 设

是来自如下总体的一个样本

（1）若的先验分布为均匀分布U （0, 1）, 求的后验分布； （2）若的先验分布为

求的后验分布.

【答案】的联合密度函数为

时，后验分布为

（1）对先验分布U （0，1），当

（2）对该先验分布，当

时，后验分布为

5． 某班级学生中数学成绩不及格的比率X 服从a=l，b=4的贝塔分布，试求

【答案】贝塔分布Be （1，4）的密度函数为

且由

知

6． 某种圆盘的直径在区间（a ，b ）上服从均匀分布，试求此种圆盘的平均面积.

【答案】记X 为圆盘的直径，则圆盘的面积为

7． 设离散随机变量X 的分布列如下, 试求X 的特征函数

表

【答案】

8． 设

（2）在

是来自正态分布

的样本.

所以平均面积为

（1）在已知时给出的一个充分统计量；

已知时给出的一个充分统计量.

【答案】（1）在已知时, 样本联合密度函数为

令理,

（2）在

为

,

取

的充分统计量.

, 由因子分解定

已知时, 样本联合密度函数为