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一、计算题

1． 设平面区域D 由曲线

及直线

所围成, 二维随机变量

在区

域D 上服从均匀分布, 试求X 的边际密度函数.

【答案】因为区域D 的面积为（如图）

又因为（X , Y ）服从D 上的均匀分布, 所以（X , Y ）的联合密度函数为

图

由此得, 当

时,

所以X 的边际密度函数为

若此题要求出Y 的边际密度, 则从图中可以看出: 当.

时, 有

当

时, 有

所以Y 的边际密度为

2． 对下列数据构造茎叶图

【答案】取百位数与十位数组成茎, 个位数为叶, 这组数据的茎叶图如下:

图

3． 设A ，B 为两事件

，

【答案】由条件概率的性质知

其中

而

4． 系统由n 个部件组成. 记

为第i 个部件能持续工作的时间, 如果

独立同分布,

且

代回原式，可得

试在以下情况下求系统持续工作的平均时间:

（1）如果有一个部件停止工作, 系统就不工作了； （2）如果至少有一个部件在工作, 系统就工作. 【答案】因为

所以

的密度函数和分布函数分别为

（1）根据题意,

系统持续工作的时间为

而当t>0时

这是参数为

的指数分布, 所以

所以, 当t>0时

（2）根据题意, 系统持续工作的时间为

所以, 当t<0时,

密度函数

所以系统持续工作的平均时间为

5． 设

为取自泊松分布

的随机样本.

的水平

的检验.

的图像.

（1）试给出单边假设检验问题（2）求此检验的势函数【答案】（1）选式

为

在A=0.05，0.2，0.3，…，0.9时的值，并画出

为检验统计量，其值愈大愈倾向于拒绝注意到

在

当

c=5

时时

，

所以，该检验问题的拒绝域形

，从而第一类错误概率

为

当

c=6

时

，

因此，该检验问题的拒绝域为

（2）势函数的计算公式为：

则

时的势计算如下表：

表

势函数图如图:

图

6． 设随机变量X 的密度函数如下，试求E （2X+5）

.

【答案】因为

所以