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一、计算题

1． 由某机器生产的螺栓的长度（cm ）服从正态分布10.05±0.12内为合格品，求螺栓不合格的概率.

【答案】记螺栓的长度为X ，则

若规定长度在范围

2． 设总体X 服从N （0, 1）,

从此总体获得一组样本观测值

（1）计算x=0.15（即（2）计算【答案】（1）可知,

（2

）

所以

, 处）的

在

x=0.15

在x=0.15的分布函数值.

处的分布函数

值

3． 从（0, 1）中随机地取两个数, 求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率。

【答案】设取出的两个数分别为X 和Y , 则（X , Y ）的联合密度函数为

因为

的非零区域与

的交集为图阴影部分

.

图

所以

4． 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似地服从

【答案】记X 为考生的外语成绩，由题设条件知知

即

因此查表知

由此解得

从而得

其中

的正态分布，已知96未知，但由题设条件

分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率.

由此所求概率为

5． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：

（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人. 【答案】记X=所掷的轮数，则

所以

其中

1-p=P（重新掷）=P（出现三个正面或出现三个反面）

（1）第2轮确定由谁来付账的概率为

（2）进行了3轮还没有确定付账人的概率为

6． 某地区漏缴税款的比率X 服从参数a=2，b=9的贝塔分布，试求此比率小于10%的概率及平均漏缴税款的比率.

【答案】贝塔分布Be （2，9）的密度函数为

因为

所以

因此

7． 请叙述下列事件的对立事件：

（1）A=“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B=“射击三次，皆命中目标”； （3）C=“加工四个零件，至少有一个合格品 【答案】（1）（2）（3）

“掷两枚硬币，至少有一反面

“射击三次，至少有一次不命中目标 “加工四个零件，全为不合格品

8． 已知（X , Y ）的联合分布列如下:

试求:

（1）已知Y=i的条件下, X 的条件分布列, i=l, 2; （2）X 与Y 是否独立？ 【答案】（1）因为

所以在给定Y=1的条件下, X 的条件分布列为

在给定Y=2的条件下, X 的条件分布列为

（2）因为

所以由

知X 与Y 不独立.

二、证明题

9． 设从均值为

方差为

的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

的两独立样本的均值，故

都是的无偏估计，并确定常