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一、计算题

1 某市要调查成年男子的吸烟率, 特聘请50名统计专业本科生做街头随机调查, 要求每位学生调．

查100名成年男子, 问该项调查的总体和样本分别是什么, 总体用什么分布描述为宜？

【答案】（1）总体是该市所有成年男子（的吸烟情况）； （2）样本是被调查的5000名成年男子（的吸烟情况）； （3）总体分布为二点分布

其中p 为该市成年男子的吸烟率.

2． 假设有十只同种电器元件，其中有两只不合格品. 装配仪器时，从这批元件中任取一只，如是不合格品，则扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，则扔掉再取一只，试求在取到合格品之前，已取出的不合格品只数的数学期望.

【答案】记为“第i 次取m 的是合格品”，i=l，2，3. 随机变量X 为“取到合格品之前，已取出的不合格品数”. 则

上述三个概率组成一个分布列，其数学期望为

3． 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差平方和为多少？误差的方差是多少？

【答案】此处因子水平数r=4，每个水平下的试验次数m=3，误差平方和它们分别为

于是

其自由度为

误差方差

的估计值为

由四个平方组成，

的估计值

4． 某人想用10000元投资于某股票，该股票当前的价格是2元/股. 假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股. 而理财顾问给他的建议是：若期望一年后所拥有的股票市值达到最大，则现在就购买；若期望一年后所拥有的股票数量达到最大，则一年以后购买. 试问理财顾问的建议是否正确? 为什么？

【答案】如果现在就购买2元/股，则10000元可购买5000股. 记X 为一年后所拥右的股票市值X 的分布列为

表

1

所以E （X ）=12500元，比一年后购买（市值为10000元）大.

如果一年后购买，记Y 为一年后所购股票数，则10000元等可能地购买10000/1=10000股或10000/4=2500股，所以Y 的分布列为

表

2

由此得E （Y ）=5000+1250=6250（股），比现在就购买（5000股）多. 因此，理财顾问的建议是正确的.

5． 设随机变量X 与Y 独立同分布, 其密度函数为

（1）求U=X+Y与V=X/（X+Y）的联合密度函数（2）以上的U 与V 独立吗？ 【答案】（1）

的反函数为

变换的雅可比行列式

所以在（U , V ）的可能取值范围

（2）因为U 与V 各自的边际密度函数分别为

所以由

内, 有

知U 与V 相互独立.

6． 从（0, 1）中随机地取两个数, 求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率。

【答案】设取出的两个数分别为X 和Y , 则（X , Y ）的联合密度函数为

因为

的非零区域与

的交集为图阴影部分

.

图

所以

7． 在总体N （7.6, 4）中抽取容量为n 的样本, 如果要求样本均值落在（5.6, 9.6）内的概率不小于0.95, 则n 至少为多少？

【答案】样本均值

从而按题意可建立如下不等式

即

即

样本量n 至少为4.

8． 设

来自伽玛分布族

的一个样本, 寻求

的充分统计量.

所以

查表,

函

故

或

,

【答案】样本的联合密度函数为:

由因子分解定理,

或

是充分统计量.

二、证明题

9． 设明:统计量

（1）若

是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证

服从

这是因为F （x ）的反

【答案】分几步进行:

且F （x ）为连续严增函数, 则