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一、计算题

1． 已知物体的运动规律为

【答案】

2． 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积:

（1）星形线（2）椭圆（3）圆

，求这物体在t=2（s ）时的速度。

【答案】（l ）正向星形线的参数方程中的参数t 从0变到2π，因此

（2）正向椭圆

的参数方程为

t 从0变到2π。

（3）正向圆周变到2π。

，即

的参数方程为

t 从0

3．

试证明方程误差不超过0.01。

【答案】设函数

在区间（-l , 0）内有惟一的实根, 并用切线法求这个根的近似值, 使

在

, 使

上连续, 且

, 即方程

在区间（-1, 0）内

,

, 在区间（-1, 0）内有惟一

由零点定理知至少存在一点至少有一实根。又即的实根。

现用切线法求这个实根的近似值: 由知取

, 利用递推公式

, 故函数f （x ）在[-1, 0]上单调增加, 从而方程

在（-1, 0）内至多有一个实根, 因此方程

, 得:

故使误差不超过0.01的根的近似值为

4． 已知向量.

【答案】

由于

同时垂直，故所求向量可取为

，（1，﹣1，2）

（3, 3, 1）和

（3, 1, 3）. 求与

同时垂直的单位

由

知

5． 问函数

【答案】函数在[1, 4]上可导, 令

, 得驻点

（舍去）,

, 比较

在何处取得最大值? 并求出它的最大值。

得函数在处取得最大值, 且最大值为

6． 把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分，其中： （1）是平面（2）是抛物面【答案】（1）由于

在第一卦限的部分的上侧； 在xOy 面上方的部分的上侧。

取上侧，故在任一点处的单位法向量为

于是

（2）由于

取上侧，故在其上任一点

于是

7． 讨论函数

【答案】因为

故f （x ）在x=0处连续。

不存在，故f （x ）在x=0处不可导。

8． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.

，由向量的几何意头知 【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）

，在x=0处的连续性和可导性。

处的单位法向量为