2017年西安建筑科技大学理学院818高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 由y=8, x=2, y=0所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得旋转体体积。
【答案】（1）图形绕x 轴旋转，该体积为Y 轴所得的立体）减去由曲线
；
（2）图形绕y 轴旋转，则该立体可看作圆柱体（即由x=2，y=8，x=0，y=0所围成的图形绕
，y=8，x=0所围成的图形绕y 轴所得的立体，因此体积为
2． 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性:
【答案】（1）解法一：后的级数
解法二：因（2）（3）因
而
也发散，由比较审敛法知原级数
而
由于级数发散。
发散，故各项乘
发散，故由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
而
发散，由比较审敛法知原级数发散。 收敛，由极限形式的比较审敛法知原级数发散。
（4）因
收敛。
（5）
当
时
，
而收敛，故由极限形式的比较审敛法知原级数
，一般项不趋于零，
故发散，当a>1时，
而收敛，故由比较审敛法知收敛。
3． 设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的闭区域为
，
。
（l ）设向导数的最大值为
也就是说，要在D 的边界线定攀岩起点的位置.
【答案】（l ）由梯度与方向导数的关系知，
在点
处沿梯度
方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以
（2）欲在D 的边界上求g （x ，y ）达到最大值的点，只需
求
达到最大值的点. 因此，作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
，得
式（9-14）+（9-15）
解得若若
或
。
，再由式（9-16）得
。
由于的起点。
，故
或
可作为攀岩
。
，则由式（9-14）得
，则由式（9-16）得
，问f （x ，y ）在该点沿平面上什么方向的方向导数最大? 若记此方，试写出
的表达式.
上找出（1）中的g （x ，y ）达到最大值的点. 试确小
山
的
高
度
函
数
为
（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，
于是得到四个可能的极值点
4． 设，求以a ＋2b 与a －3b 为边的平行四边形的面积.
【答案】根据向量积的几何意义知以a ＋2b 和a －3b 为边的平行四边形的面积
5． 当x →0时
，
【答案】
与ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
n
，
∴n=2，且由
，故a=7。
6． 设一平面垂直于平面z=0，并通过从点（1, ﹣1, 1）到直线的方程.
【答案】直线
的方向向量
的垂线，求此平面
作过点（1, ﹣1, 1）且以s=（0，﹣1, ﹣1）为法向量的平面
联立
，得垂足
.
. 平面过点（1, ﹣1, 1
）及垂足
所求平面垂直于平面z=0，
设平面方程为
，故有
由此解得B=2D，A=D.因此所求平面方程为
，即
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