2017年西安工程大学理学院827高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 计算下列二重积分
（1），其中D 是顶点分别为
和
的梯形闭区
域；
（2），其中
（3），其中D 是圆周
所围成的闭区域；
（4）
，其中
。
【答案】（1）D 可表示为
，于是
（2）由于
（3）利用极坐标计算，在极坐标系中，有
于是
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故
（4）利用对称性可知
，又
因
此
2． 试问a 为何值时,
函数并求此极值。
【答案】故a=2
又因此
3． 计算下列反常积分：
（1）（2）
【答案】（1）x=0为被积函数
的瑕点，而
,
为极大值。
, 函数在
处取得极值, 则
=0, 即
,
处取得极值? 它是极大值还是极小值?
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故又
收敛。
，而
因此
故
（2）记被积函数为当α＞0时，令
，得到
故
，则当α=0时，
，因此当α≥0时，
，又
收敛。
4． 汽车连同载重共5t , 在抛物线拱桥上行驶, 速度为21.6 km/h, 桥的跨度为10m , 拱的矢高为0.25m （如图所示）。求汽车越过桥顶时对桥的压力。
图
【答案】设立直角坐标系如图所示, 设抛物线拱桥方程为
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