2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 画出积分区域，把积分
(1)(2)(3)
【答案】（1）如图2所示，在极坐标系中，有
故
表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 是：
图1 图2
（2）如图3所示，在极坐标系中，
，故
（3）D 如图4所示，在坐标系中，
直线
。于是
的方程为，
故
图3 图4
2． 在杠杆上支点O 的一侧与点O 的距离为O 的另一侧与点O 的距离为
，
的点
的点
处，有一与成角
的力
成角
的力
作用着；在
处，有一与
作用着. 问
，，，
，
符合怎样的条件才能使杠杆保持平衡？
图
【答案】如图所示，已知有固定转轴的物体的平衡条件是力矩的代数和为零，又由对力矩正负符号的规定可得杠杆保持平衡的条件为
即
3． 验证下列求这样的一个
在整个xOy 平面内是某一函数的全微分，并
【答案】（1）在整个xOy 面内，
函数
，因此所给表达式是某一函数
的全微分。取
具有一阶连续偏导数，
且
则有
（2）在整个xOy 面内，函数
和
具有一阶连续偏导数，且
故所给表达式是某一函数
的全微分。取
则有
（3）在整个xOy 面内，且
则有
和
，故所给表达式是某一函
数
具有一阶连续偏导数，
的全微分。
取
（4）在整个xOy 面内，函数且
则有
和
具有一阶连续偏导数，
的全微分，
取
，故所给表达式为某一函
数
（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，且分。取
则有
和
故所给表达式是某一函数
具有一阶的全微
解法二：（偏积分法）因函数
满足
故
其中
是y 的某个可导函数，由此得
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