2017年山东科技大学信息科学与工程学院833高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 已知
【答案】因为
于是
2． 设直线L 过A （1, 0, 0），B （0, 1, 1）两点，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面，与平面z=0，z=2所围成的立体为.
（1）求曲面的方程； （2）求的形心坐标. 【答案】（1）直线L 的方程为
，令
设M （x ，y ，z ）为曲面
上的任意一点，则
计算得曲面
的方程为
（2）设的质心坐标为设计算过程如下
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，计算在x=2处当△x 分别等于1, 0.1, 0.01时的△y 及dy 。
，得
，由对称性知，
，则
，分别计算
和
，
故的质心坐标为
3． 在抛物线y=x2上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有由此得所求点为（2，4）。
4． 计算抛物线从顶点到这曲线上的一点M （x , y ）的弧长。
【答案】不妨设p>0，由于顶点到（x , y ）的弧长与顶点到（x , -y ）的弧长相等，因此不妨设y>0，故有
5． 设
【
答
案
6． 在y 轴上求与点A （l ，﹣3，7）和点B （5，7，﹣5）等距离的点.
，由
【答案】根据题意，设所求点为M （0，y ，0）
得y=2.故所求点M （0, 2, 0）.
】
二、证明题
7． 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I ’。
如果等于A 。
【答案】对
，因
故
，使得当
时，有
，
，那么
存在，且
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即
又因取而有
注：对于则I ’。
8． 证明恒等式:
【答案】令函数因取x=0, 得 9． 设
存在, 证明
。 ，故对上面的。
则当
，即有
的庆幸，利用极限
时，假设（1）及关系式（3）、（4）同时成立，从
因此
存在，且等于A 。
的定义及假设条件，可以类似地证明相应的准当
时，有
即
, 故。因此
。 ,
。
【答案】
10．验证当求
时, 按公式
计算
的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并
的近似值, 使误差小于0.01。 【答案】设
则
, 故
的三阶麦克劳林公式为
, 其中介于0, x 之间。
按当
时,
计算
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的近似值时, 其误差为