2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p 与水深h 存在函数关系, 且有P=9。8h
。若闸门高H=3m, 宽L=2m, 求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P 。
,
取
,
并记
【答案】在区间[0, 3]上插入, n-1
个分点
得到闸门所受水压力的近似值为
水压力为积分区间的分法和
为小区间的端点故
2． 求抛物线
被圆
所截下的有限部分的弧长。
得到两曲线的交点为
3． 利用递推公式计算反常积分
【答案】当n ≥1时，故有
。
，
因此所求弧长为
, 根据定积分的定义可知闸门所受的
, 由于被积函数连续, 而连续函数是可积的, 因此积分值与
的取法无关。为方便计算, 对区间[0, 3]进行n 等分, 并取
, 于是
【答案】联立两曲线方程
4． 计算下列极限：
（1）
（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4） 5． 计算
（k 为正整数）。
，其中是由平面z=0，z=y，y=1以及抛物柱面
的顶为平面
，底为平面
，
在
所围成的闭区域.
面上的投影
【答案】解法一:容易看出，区域
由
和
所围成。故可用不等式表示为
因此
解法二：由于积分区域属于
，且被积函数）
关于
面对称（即若点
，则
，因此
）
6． 计算由四个平面x=0，y=0，x=1，y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体的体积。
【答案】此立体为一曲顶柱体，它的底是
xoy
面上的闭区
域
，顶是曲面Z =6-2x-3y（图）. 因此所求立体的体积
也
关于是积函数（即
图
二、证明题
7． 证明方程
【答案】设且当
时，
， 使
，
就是满足条件的正根。
成反比，试证陨星的加速度
由零点定理，即知当
时，
，其中a>0, b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。
，则f （x ）在闭区间
，
上连续，
即为原方程的根，它是正根且不超过a+b;
8． 比重大的陨星进入大气层时，当它离地心为5 km时的速度与以与s 成反比。
【答案】由题意知
2
即陨星的加速度与s 成反比。 2
，其中k 为比例系数，则
9． 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I ’。
如果等于A 。
【答案】对即
又因
，因。 ，故对上面的。
，那么
故
，使得当当
时，有时，有
存在，且
，即
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