2017年山东科技大学数学与系统科学学院851高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、计算题
1． 一底为8cm 、高为6cm 的等腰三角形片，铅直地沉没在水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面3cm ，试求它每面所受的压力。
0.6]，【答案】如图设立坐标系，取三角形顶点为原点，取积分变量为2，则z 的变化范围为[0，，因此OB 的方程为易知B 的坐标为（0.06, 0.04）
。
，故对应小区间[x，x+dr]
的面积近似值为
图
记γ为水的密度，则在x 处的水压强为
2． 求由抛物线
与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值。
，故压力为
，设过焦点的直线为y=k（x-a ），则该直线与抛物线的交点的【答案】抛物线的焦点为（a , 0）纵坐标为
，
，面积为
故面积是志的单调减少函数，因此其最小值在
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，即弦为x=a时取到，最小值为。
3． 试问a 为何值时, 函数并求此极值。
【答案】故a=2
又因此
4． 自点标为（点
（，0，为点
；）
,
为极大值。 , 函数在
处取得极值? 它是极大值还是极小值?
处取得极值, 则=0, 即,
）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.
为点
关于xOz 面的垂线，垂足F 坐
，
，0）；
为
为点
关于xOy 面的垂线，垂足D 坐标为（
，
）
. ，0，0）；
为点
关于y 轴的垂线，垂
）
.
【答案】设空间直角坐标系如图所示，根据题意，关于yOz 面的垂线，垂足E 坐标为（0，
，0）；
为点
关于x 轴的垂线，垂足A 的坐标为（
足B 的坐标为 （0，关于z 轴的垂线，垂足C 的坐标为（0，0，
图
5． 求曲线
【答案】曲线在对应于t=1的点位
在对应于t=1的点处的切线及法平面方程。
，该点处的切向量
于是曲线在该点处的曲线方程为
即
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所求法平面方程为
即
6． 求曲线
切线及法平面方程。
【答案】
与
相应的点
为，于是所求切线方程为
法平面方程为
即
，曲线在该点处的切向量
为
k 在与
相应的点处的
二、证明题
7． 设
与
在闭区域D 上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L 为D
的正向边界曲线。证明：
其中
与
分别是u 与v 沿L 的外法线向量n 的方向导数，符号
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称为二维
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