2016年济南大学物理科学与技术学院高等数学(同等学力加试)考研复试题库
● 摘要
一、计算题
1． 设直线L 过A （1, 0, 0），B （0, 1, 1）两点，将L 绕z 轴旋转一周得到曲面，与平面z=0，z=2所围成的立体为.
（1）求曲面的方程； （2）求的形心坐标. 【答案】（1）直线L 的方程为
，令
设M （x ，y ，z ）为曲面
上的任意一点，则
计算得曲面
的方程为
（2）设的质心坐标为设计算过程如下
，由对称性知，
，则
，分别计算
和
，
，得
故的质心坐标为
2． 计算下列曲面积分：
，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面
，
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；
其
中
为
锥
面
的外侧；
，其中为半球面
，其中为球面
【答案】（1）将分成zOx 面上的投影区域均为
1和
2两片，
1为
的上侧； 的外侧。 ，
2为
，1和2在
又由于被积函数关于y 是偶函数，积分曲面
1和
2关于
zOx 面对称，故
由此得
（2）添加辅助曲面
所包围的空间闭区域上应用高斯公式得
，取上侧，则在由
和
1
于是
其中在计算
。
时，由对称性易知
故
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从而得原式（3）添加辅助曲面所围成的空间闭区域
，取下侧，则在由
和
1
上应用高斯公式得
于是
（4）解法一：将分成为
1和
其中2两片，
取下侧。（图）。于是
1和
2在
取上侧；
xOy 面上的投影区域均
因而
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