2016年浙江海洋学院海洋科学高等数学复试复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 化下列二次积分为极坐标形式的二次积分:
【答案】（1）如图1所示，用直线y=x将积分区域D 分成
两部分
于是
图1 图2
（2）D 如图2所示. 在极坐标系中，直线x=2，射线y=x和
，
。因此
又
，于是
的方程分别是
D 如图3所示. 在极坐标系中，（3）直线y=1-x的方程为的方程为
，因此
，圆
于是
（4）D 如图4所示. 在极坐标系中，直线x=l的方程是
，即
; 从原点到两者的交点的射线是
; 抛物线
。故
于是
的方程是
图3 图4
2． 计算半立方抛物线
被抛物线
截得的一段弧的长度。
【答案】联立两个方程得到两条曲线的交点为和，由于曲线关于
x 轴对称，因此所求弧段长为第一象限部分的2倍，第一象限部分弧段为
，故所求弧的长度为
，
3． 根据定积分的性质及第12题的结论, 说明下列各对积分哪一个的值较大:
【答案】（1）在区间[0, l]上（2）在区间[l, 2]上（3）在区间[l, 2]上由于
（4）由教材第三章第一节例l 可知当（5）由于当x>0时
4． 试决定曲线
点, 且点（-2, 4, 4）在曲线上。
【答案】根据题意有
即
中的a , b , c , d , 使得x=-2处曲线有水平切线, （1, -10）为拐, 因此
, 得
时,
, 因此
比
大 , 因此
, 因此, 因此
大
大 大
大
, 故此时有
解此方程组得a=1, b=-3, c=-24, d=16。
5． 利用定积分定义计算由抛物线积。
【答案】由于函数等份,
则分点为的右端点
, 则
, 两直线x=a, x=b（b>a）及x 轴所围成的图形的面
在区间[a, b]上连续, 因此可积, 为计算方便, 不妨把[a, b]分成n
,
每个小区间长度为
,
取
为小区间