2016年新疆师范大学物理与电子工程学院高等数学复试笔试仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 利用极坐标计算下列各题:
（1）（2）内的闭区域;
（3
）
，其中D 是由圆
周
所围成的在第一象限内的闭区域。
【答案】（1）在极坐标系中，积分区域
，于是
（2）在极坐标系中，积分区域
，于是
及直
线
，其中D 是由圆周
，其中D 是由圆周
所围成的闭区域;
及坐标轴所围成的在第一象限
（3）在极坐标系中，积分区域
，于是
2． 设m=3i＋5j ＋8k ，n=2i-4j-7k和p=5i＋j-4k. 求向量α=4m＋3n-p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.
【答案】 α=4m＋3n-p=4（3i ＋5j ＋8k ）＋3（2i-4j-7k ）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k, α在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j.
3． 已知函数（f x , y ）满足的极值.
【答案】已知
，得
已知得
，从而
将上式两端对x 积分得
因为计算得
令
，计算得，驻点为（0，－1），则
由于
4． 求函数
【答案】因为
, 故
，所以极小值为f （0，－1）=－1。 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式
,
，所以
，得
，得
f x , y ）求（
5． 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中，其速率为4 m/min。当水深为5m 时，其表面上升的速率为多少?
3
图
，水的容积为V （t ），【答案】如图所示，设在t 时刻容器中的水深为h （t ）即即故
6． 求通过点A （3，0，0）和B （0，0，1）且与xOy 面成了
【答案】设所求平面方程为
角的平面的方程.
，
，B （0，0，l ），故a=3，c=1.这样平面方程为
平面过点A （3，0，0）
它与xOy 面成
角，故
即
故所求平面为
二、证明题