2017年华北理工大学生命科学学院905概率论和数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
2． 设
（1）（2）（3）
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
从而
的有效性最差.
则
由此可推测。当用样本的凸组合
3． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
证明：
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个
，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
I
（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得
再利用（1）的结果即可得证.
4． 若事件A 与B 互不相容，且
证明：
【答案】
5． 设随机变量X 〜b （n ，p ），试证明
：
【答案】
6． 设连续随机变量
独立同分布, 试证:
【答案】设诸而事件
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为.
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