2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院432统计学之概率论与数理统计教程考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设0 【答案】由条件 得 试证：A 与B 独立. 再由上题即得结论. 2 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:．（0, 1）相互独立. 【答案】设 则 所以 •由此得 和V=X/Y的联合密度为 所以 3． 设 可分离变量, 即U 与V 相互独立. 为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为 （1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为 则在给出样本 后的后验分布密度函数为 其中 和 其中 因此， 所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先 验分布. （2 ）当已知时，不妨设c 服从伽玛分布 都已知. 则给出样本 即 其中 后c 的后验分布密度函数 这说明 证明完成. 4． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A-B 与C 独立. 【答案】因为 所以A-B 与C 独立. 5． 设 是来自 的样本，考虑如下假设检验问题 确定. ，n 最小应取多少？ 若检验由拒绝域为 （1）当n=20时求检验犯两类错误的概率； （2）如果要使得检验犯第二类错误的概率（3）证明：当 时， 【答案】（1）由定义知，犯第一类错误的概率为 这是因为在成立下， 而犯第二类错误的概率为 这是因为在成立下. . （2）若使犯第二类错误的概率满足 即 ，或 ，查表得： 由此给出 因而凡 最小应取34, 才能使检验犯第二类错误的概率 （3）在样本量为n 时，检验犯第一类错误的概率为 当 时. ，即 检验犯第二类错误的概率为 当 时， 即 才可实现，这一结论在一般场 注：从这个例子可以看出，要使得与都趋于0, 必须 合仍成立，即要使得与同时很小，必须样本量n 很大. 由于样本量n 很大在实际中常常是不可行的，故一般情况下人们不应要求与同时很小. 6． 设随机变量与相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明: （1）（2） 【答案】（1）设所以当即 时, 的密度函数为 即（2）因为以 由此得 所以（X , Y ）的联合密度函数为 这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量. 7． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明： 【答案】由于其中 和 则 的密度函数为 则 所以 当 是相互独立的标准正态随机变量. 时, , 所以 又因为 所 存在，所以级数绝对收敛，从而有