2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院840概率论考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
证明：
的无偏估计量。
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
的最大似然估计量
；
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（III ）由于
2． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
I
（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得
再利用（1）的结果即可得证.
3． 设时,
为一独立同分布的随机变量序列, 已知
近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列, 所以
也是独立同分布的随机变量序列.
试证明:当n 充分大
根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为
4． 设
是取自二维正态分布
的一个二维样本, 记
试求统计量【答案】容易看出
的分布.
仍服从正态分布. 且
所以另外,
类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且
于是根据t 变量的构造可知
这就是我们要求的分布.
5． 设
是来自
的样本，α＞0已知，试证明，
是
于是
所以λ的费希尔信息量为
这就是说
的任一无偏估计的C-R 下界为
又
的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体Ga （α, X ）的密度函数为