2017年常州大学石化学院、食品学院601理学数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、解答题
1． 设函
数
，…设
【
是曲线
答
，定义函数
列
案
，
，…
，
； 】
，直线x=1，y=0所围图形的面积，求极限
利用数学归纳法可得，，则
故
2． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积
分
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
3． 求下列各微分方程的通解
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
令
即
再积分得通解（5）令
则
且原方程可化为
积分得通解
（6）令积分得（7）
令
积分得
则
则且原方程化
为
分离变量，
得
积分
得
利用一阶线性方程的求解公式，得
则
即
且原方程可化为
再积分，得通解
分离变量，得
且原方程化
为分离变量，
得
即即通解为（8）令
，故
分离变量，得
分离变量，得
则
积分得
且原方程化为
由于
两边平方，得
分离变量，得，
积分得
故上式两端积分，
型方程，除了设，得
即
即
积分，得
，
（9）说明方程用如下方法求答:在f （y ）的原函数，则有
属于的两端乘以
来降阶求解外，还可以
若F （y ）是
积分得到降阶方程乘方程
的两端，
得
本小题按上述方法求答:
用
有
故
分离变量，得
（10）令则原方程化为即若p ≡0, 则y ≡C 。
y ≡C 是原方程的解，
但不是通解。若
分离变量，得分得
即
积分得
由于p 的连续性，必在x 的某区间有p ≠0.
于是
即
也可写成
亦即由于当
时，
积故
前面所得的解y ≡C 也包含在这个通解之内。
4． 已知函数
满足
，且
，求曲线
所成
的图形绕直线y=-1旋转所成的旋转体的体积。
【答案】由于函数连续函数；又
故知令
，可得
，得到
；且当y=-1时，x 1=1，x 2=2；则曲线
满足
，
，故，其中C （x ）为待定的
所
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