2017年常州大学石化学院、食品学院601理学数学考研强化模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 两个无穷小的商是否一定是无穷小? 举例说明之.
【答案】不一定，例如，不是当 的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
当
时，
，将其代入
三式中，得
则函数Z 在
处取得极小值
。
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与都是当时的无穷小，但，却
时的无穷小。
确定的函数
2． 求由方程
，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
当时，，并将其代入，得
故Z 在点处取到极大值。
3． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得
故上式成为得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为
。又令，代入
，令，有
，
则
，即
，因
，
，又令
，有，即
，
。
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
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积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
故在变换
则
将
代入上式，
且原方程成为（3Y -7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将满足微分方程
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
且
即
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得 5． 试求
的经过点M （0, 1）且在此点与直线
相切的积分曲线。
【答案】由于直线
在（0, 1）处的切线斜率为，依题设知，
所求积分曲线是初值问题的解。
由
积分
得
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，又令
即，得
，有
，
类型的，
一般可令
积分
（4
）将原方程写成
。令
得
4． 已知函数
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
得
且
可
即
知
函数取得极大值函数取得极小值
代入x=0
,
得，即有
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