2017年常州大学材料学院601理学数学考研仿真模拟题
● 摘要
一、解答题
1． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故
的表达式为
代入，可得
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
满足
求f （u ）的表达式。
2． 用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比。
【答案】因
3． 已知函数
满足微分方程
且
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
且
得
可
即
知
与P 成正比，与T 成反比，若比例系数为k ，则有
2
。
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
当x=1时，可解得当x=-1时，可解得
4． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
函数取得极大值函数取得极小值
（2） 5． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
当
时，有
求
。 两个区域，
当
时，有
当时，有
综上所述，得
6． 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴问的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程.
，切点为（z ，y ）. 依条件，切线在59轴与Y 轴上的截距分【答案】设曲线方程为y=y（x ）别为2x 与2y ，于是切线的斜率
积分得代入初始条件
7． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
，即
。
，分离变量得
。
得C=6。故曲线方程为xy=6。
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
8． 小船从河边点0处出发驶向对岸（两岸为平行直线）。设船速为a ，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为h ，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为k ）. 求小船的航行路线.
相关内容
相关标签