2017年常州大学材料学院601理学数学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、解答题
1． 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点（x , y ）处的切线斜率等于2x+Y。
，依题意有【答案】设曲线方程为y=y（x ）
由x=0，y=0，得C=2.故所求曲线的方程为
2． 设有一个由电阻R=10Ω、电感L=2H（亨）和电源电压E=20sin 5tV （伏）串联组成的电路. 开关K 合上后，电路中有电流通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.
【答案】依题意，有
，即
其中，记
，则
故
于是
代入初始条件t=0, i=0, 得C=1, 故电流i 与时间t 的关系为
按波动学的习惯，可写成
3． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv（其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）
【答案】根据牛顿第二定律，
有关系式
方程成
为
并依据题设条件，
得初值问题
分离变量后积分
，即
得
于是
有
代入初始条件
积分
得
，得
得
代入初始条
件
故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为
4． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长。
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标。 【答案】（1
）
。
（2）
5． 求由方程的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
确定的函数
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
当
时，
，将其代入
三式中，得
则函数Z 在当
处取得极小值
时，
。
，并将其代入
，得
故Z 在点
处取到极大值
。
6． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
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