2017年常州大学材料学院601理学数学考研题库
● 摘要
一、解答题
1． 如果某国人口增长的速率为u （t ），那么
【答案】
表示什么？
表示该国在[T1，T 2]时间段内增加的人口总量。
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
3． 如果一公司经营某种产品的边际利润函数为
【答案】
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，代入。
并整理，得通解，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
，那么表示什么？
表示从经营第1000个产品起一直到第2000个产品的利润总量。
4． 设
【答案】由于
，为可微函数，求，令
。
，则将其代入原式得
则
则
5． 设D 是由曲线
，直线
及x 轴所围成的平面图形，V x ，V y 分别是D 绕x ，求a 的值。
6． 若函数
恒满足关系式
就称为k 次齐次函数，
验证k 次齐次函数满足关系式
其中f 存在一阶连续偏导数。 【答案】为简化计算，可令两边同时对t 求导，得
则上式对一切实数t 都成立。令
，得
。
7． 求下列伯努利方程的通解
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轴和y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若
【答案】
，则 ，
【答案】（1）将原方程改写成且原方程化为
其中故即
为所求通解。
并
令
故原方程的通解为
或写成
（3）将原方程改写成于是原方程化为
即
为所求通解。
并令
第 4 页，共 44 页
，并令
（2）将原方程改写
成
则且原方程化
为
，并令则
（4）将原方程改写成且原方程化为
则