2018年湖北省培养单位武汉物理与数学研究所801高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵.
记
A.
B.
C.
D. 【答案】D
【解析】由题设知，所以
3． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
则为（ ）.
则A=（ ）.
的解都是线性方程组
的解, 则（ ）.
与的解空间分别为则所以
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同. 5． 设是非齐次线性方程组
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
由于故
是
，因此
线性无关，且都是
知
的解. 是
的特解，因此选B.
，因此
不是
的特解，从而否定A ，C.
,
故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
则A 与B （ ）.
的两个不同解，是的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
的基础解系. 又由
二、分析计算题
6． 计算
【答案】将行列式升阶
将第一行乘以加到第i 行，得
7． 设P 是数域，
证明：存在可逆阵P , Q, 使
【答案】因为秩
所以
且和
秩
有相同的r 阶顺序主子式.
可逆阵P 、Q ，使
又因为所以有
所以
令
这里
均为r 阶方阵，
都是
阶方阵，将它们代入式（1）得
即
所以
式（3）代入式（2）得，
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