2018年湖北大学数学与统计学学院601高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1. 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ,B 都是实对称阵,且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
2. 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩( ).
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
,从而否定A , 若选,
故
再由
是正交阵,知T 也是正交阵,从而有
且由①式使
则A 与B ( ).
若选故选B.
, ,从而否定C ,
专注考研专业课13年,提供海量考研优质文档!
3. 设
又
与为空间的两组基,
且
①
②
③
则( ). A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令
将①代入④得
由②有
④
即
4. 设A , B为同阶可逆矩阵,则( ).
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ,使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D
D. 存在可逆阵P , Q ,
使PAQ=B
故.
【解析】其中则
PAQ=B
5
. 设
A 为3
阶矩阵,将A 的第2行加到第1行得8
,再将B 的第1列的1倍加到第2列得C , 记
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】由已知,有
则( ).
专注考研专业课13年,提供海量考研优质文档!
于是
二、分析计算题
6. 设
又若
都是
中的非零多项式,且
证明:不存在
使①式成立,则用
矛盾.
这里且
使
【答案】用反证法,若存在
由②式有
但
所以
这与
乘①式两端,得
7. 设V 是数域P 上全体n 阶方阵构成的线性空间, A 是V 中的一个取定的矩阵, 定义V 的线性变换为
证明:(1)(2)设
【答案】 (1)若(2
)由
取基础解系
令
则不可逆.
判断显然
能否对角化. 不可逆. 若
则^
于是
不是单射, 故不可逆. 对于特征值
解方程组
取基础解系
是V 的基, 则
(1)
也是V 的基. 因为
则A
的特征值为
对于特征值
由矩阵单位
解方程组
这里
所以
有4个线性无关的特征向量, 故可以对角化.
8. 一堆苹果要分给5只猴子,第一只猴子来了,把苹果分成5堆,还多一个扔了,自己拿走一堆,第二只 猴子来了,又把苹果分成5堆,又多一个扔了,自己拿走一堆. 以后每只猴子来了都如此办理,问原来至少有多 少苹果? 最后至少有多少个苹果?
【答案】设原来有x 1个苹果,5只猴子分得的苹果数依次为
则依题意有:
相关内容
相关标签