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一、证明题

1． 证明数列

收敛，因此有公式

式中

577216... 称为尤拉常数，且当

所以

时，.

并利用该公式求极限

【答案】因为

于是有

各式相加得

于是

即所以

下界. 其次

单调递减. 从而数列{xn}收敛，设

即

它的近似值为0.577216，或表示成利用上面的结论知

两式相减得

所以

2． 若

的收敛半径为

且收敛，则也收敛，且

【答案】因为

所以

因为

且

收敛，所以

在[0，A]上一致收敛，故在[0，A]上可逐项积分，因而

因

关于A

在

成立，而

上一致收敛，由和函数的连续性知

3． 若对任何充分小的

则

一个间断点. 这与题设矛盾，故f 在

4．

设

证明

【答案】由保不等式性知

当

时，

故

时

于是

由的任意性知

收敛，

因此

在

且

上连续. 能否由此推出f 在内不连续，则必有某一点

于是

内连续.

其中如果

于是，

时，原命题是成立的.

当

为正整数.

内连续.

是f 的间断点，令

是f 在区间

上的

【答案】能. 用反证法. 假如f 在

那么，对任给的存在使得

，

即当时，

对任给的

存在

当

二、解答题

5． 下列级数哪些是绝对收敛，条件收敛或发散的：

(1) (3) (5) (7)

【答案】 (1) 因为(2) 因为

(3) 根据p 的取值范围讨论. 设

时，因时，

因

发散，即原级数在

时，记

则

则当x 充分大时

从而当n 充分大时数列

单调递减，又

故由莱布尼

(2) (4)

(6) (8) (

. 时) ，而

收敛，所以原级数绝对收敛. ：

由级数收敛的必要条件知原级数发散.

不存在，故原级数发散

.

而此时

收敛，故p>l时原级数绝对收敛，且

时

时不是绝对收敛

.

茨判别法知原级数收敛且为条件收敛.

(4)

记因

而

发散，故原级数不是绝对收敛.

又因

为单调递减数列且

故由莱布尼茨判别法知原级数条件收敛.

(5) 因数列以原级数发散.

(6)

记

因

故可

知所

以

所以(7) 记

(8) 记

则

故当当

单调递减且所以级数收敛，又发散，且所

发散，即原级数不是绝对收敛.

又记时

，

为单调减函数，

又

为单凋递减数列且

因

由莱布尼茨判别法可得原级数条件收敛.

故原级数绝对收敛.

1时原级数绝对收敛；

时，

从而原级数发散.